Proportionalität

Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben zur Proportionalität für Mathe in der 8. Klasse am Gymnasium - zum einfachen Herunterladen und Ausdrucken als PDF - mit Lösungen.

Proportionalität ist ein zentrales Thema im Mathematikunterricht der 8. Klasse und bildet die Grundlage für das Verständnis von Funktionen. Zwei Größen stehen in einem proportionalen Zusammenhang, wenn sie immer im gleichen Verhältnis zueinander wachsen oder abnehmen.

Ein klassisches Beispiel: Wenn 3 Äpfel 4 € kosten, kosten 9 Äpfel 12 €. Der Preis steigt im gleichen Verhältnis zur Anzahl der Äpfel.

Proportionale Zuordnungen lassen sich übersichtlich in Tabellen, als Pfeildiagramm oder durch einen Graphen im Koordinatensystem darstellen. Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade durch den Ursprung (0|0). Wird die Gerade verschoben, handelt es sich um eine lineare, aber nicht proportionale Funktion.

Proportionalität ist eng mit dem Dreisatz und mit Funktionsgraphen verknüpft – und spielt auch im Alltag eine große Rolle, z. B. bei Preisen, Mengen oder Strecken.

Der Dreisatz ist ein Rechenschema, mit dem Aufgaben zur Proportionalität immer nach dem gleichen System gelöst werden können.

Historisches Beispiel von Adam Ries
(oft auch genannt „Adam Riese“ – daher der Ausspruch: „...nach Adam Riese...“):

Gegeben:
Drei Ellen Stoff (alte Längeneinheit) kosten neun Gulden (Währung).
Gesucht:
Wie viel kosten vier Ellen Stoff?

Rechnung:   9 : 3 =  3

                    3 • 4 = 12

Begründung:
Da 3 Ellen Stoff 9 Gulden kosten, kostet 1 Elle den dritten Teil von 9 Gulden, also 3 Gulden.
4 Ellen Stoff kosten daher 4-mal so viel, also 12 Gulden.

Zu Ries' Zeiten war die Reihenfolge der Rechenschritte oft anders:
9 • 4 = 36 -> 36 : 4 = 12

Heute wird meist zuerst der Einzelwert berechnet, wie in obiger Rechnung.
Mit welcher Methode man zum richtigen Ergebnis kommt, ist Geschmackssache – denn:
Viele Wege führen nach Rom.

Weil zur Lösung der Aufgabe drei Überlegungen („Sätze“) durchgeführt werden:

1. Was weiß ich?
    → 3 Ellen Stoff kosten 9 Gulden
2. Wieviel ist eine Einheit davon?
    → 1 Elle Stoff kostet 3 Gulden (9 : 3 = 3)
3. Wie viel möchte ich davon haben?
    → 4 Ellen Stoff kosten 12 Gulden (3 · 4 = 12)

Direkte Proportionalität bedeutet: Wenn ein Wert vervielfacht wird, wird auch der andere Wert um den gleichen Faktor vervielfacht.

Beispiel:
1 Elle Stoff kostet 3 Gulden.
Wenn der erste Wert vervierfacht wird (→ 4 Ellen), wird auch der zweite Wert vervierfacht (→ 12 Gulden).

Das heißt:
Wenn der Wert x größer wird, wird auch der Wert y größer – und zwar im gleichen Verhältnis.

Bei der indirekten Proportionalität ist es genau umgekehrt:
Wenn ein Wert (x) größer wird, wird der andere Wert (y) kleiner.

Beispiel zur indirekten Proportionalität:

Um das Becken im Freibad mit Wasser zu füllen, brauchen 5 Pumpen 10 Stunden.

Frage:
Wie lange braucht der Bademeister, wenn er statt 5 nun 7 Pumpen zur Verfügung hat?

Lösung:
Um herauszufinden, wie lange eine bestimmte Anzahl von Pumpen braucht, multipliziert man zunächst: 10 • 5 = 50
Diese 50 Pumpenstunden bleiben konstant – sie müssen nun auf 7 Pumpen verteilt werden: 50 : 7 = 7,1

Fazit:
Er hat mehr Pumpen (x wird größer) und braucht weniger Zeit (y wird kleiner) –
→ die beiden Größen sind indirekt proportional.

Oder ganz einfach formuliert:
Je mehr Pumpen – desto schneller voll!

Er hat also mehr Pumpen (x ist größer geworden) und braucht dadurch weniger Zeit (y ist kleiner geworden) - die beiden Faktoren sind also indirekt proportional zueinander!

Oder noch viel einfacher formuliert: je mehr Pumpen - desto schneller voll!

In der Schule werden manchmal gemeine Aufgaben gestellt, bei denen es scheinbar um proportionale Zusammenhänge geht – in Wirklichkeit aber nicht.

Man muss immer genau überlegen, ob die durchgeführte Rechnung sinnvoll ist und ob tatsächlich eine proportionale Beziehung vorliegt.

Beispiel – Trickaufgabe:

Ein Läufer braucht 5 Stunden für den Marathonlauf.
Frage: Wie lange brauchen 4 Läufer?

Aufgepasst!

Diese Frage suggeriert, man könne einfach mit einem Dreisatz rechnen – z. B. „4 Läufer sind schneller, also 5 h : 4 = 1,25 h“.
Das ist falsch!

Denn:
Wenn vier Läufer gleichzeitig laufen, wird der Weg ja nicht kürzer –
jeder einzelne Läufer muss die volle Strecke laufen.

Richtige Antwort: Alle vier Läufer brauchen jeweils 5 Stunden – vorausgesetzt, sie laufen gleich schnell.
Die Anzahl der Läufer ändert nichts an der Zeit, da jeder für sich läuft.
→ Kein proportionaler Zusammenhang!

Merke:
Nicht jede Aufgabe, in der Zahlen vorkommen, ist automatisch eine Dreisatzaufgabe oder ein Fall von Proportionalität.
Frage dich immer:

• Wird wirklich mehr = mehr?
• Oder geht es um etwas völlig anderes?