Proportionalität

Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben zur Proportionalität für Mathe in der 8. Klasse am Gymnasium - mit Lösungen

Proportionalität dient in der Schule als Einstieg in das Funktionsverständnis. Proportionale Zuordnungen sind genau genommen bereits eine Art Funktion, werden aber zunächst als separates Thema behandelt. Einfache Aufgaben mit Sachzusammenhängen werden bereits in der Grundschule behandelt. Zum Beispiel: 3 Äpfel kosten 4 €, wie viel kosten dann 9 Äpfel? Diese Aufgaben können Grundschüler durch logisches Überlegen und mit Hilfe von Skizzen bzw. einfachen Rechnungen lösen. Dazu brauchen sie noch keine Kenntnisse über Dreisatz oder Funktionen.

Durch die Beispiele aus dem Alltag der Schüler wird ein Zusammenhang zwischen zwei veränderlichen Größen hergestellt, die immer im gleichen Verhältnis stehen. Um den Zusammenhang zu verdeutlichen bietet sich die Arbeit mit Tabellen an, die die einzelnen Größen darstellt, auch Darstellungen als Graph oder Gerade sind hier sinnvoll. Durch die Darstellung als Graph oder Gerade im Koordinatensystem sind die Werte auch ohne Berechnung abzulesen.

Eine proportionale Funktion geht immer durch den Ursprung des Koordinatensystems, also durch den Nullpunkt. Verschiebt man den Graphen entlang der y-Achse oder der x-Achse, wird daraus eine lineare Funktion.

Der Dreisatz ist ein Schema mit dem Aufgaben zur Proportionalität immer mit dem gleichen System gelöst werden können.

Hier ein historisches Beispiel von Adam Ries (oft auch genannt "Adam Riese" - daher auch der Ausspruch "...nach Adam Riese..."):

 Gegeben: Drei Ellen Stoff (Längeneinheit) kosten neun Gulden (Währung).

 Gesucht: Wie viel kosten vier Ellen Stoff?

 Rechnung:   9 : 3 =  3

                     3 • 4 = 12

Begründung: Da 3 Ellen Stoff 9 Gulden kosten, so kostet 1 Elle den 3. Teil von 9 Gulden, also 3 Gulden. Außerdem kosten 4 Ellen Stoff 4 mal so viel wie eine Elle, also 12 Gulden.

Zu Ries´  Zeiten war die Reihenfolge der Rechenschritte abgewandelt, es wurde zuerst 9 • 4 = 36 -> 36 : 4 = 12 gerechnet. Heute wird erst der 1. Teil berechnet, wie in obiger Rechnung gezeigt. Mit welcher Methode man jedoch zum richtigen Ergenis kommt, bleibt Geschmackssache, da ja bekanntlich mehere Wege nach Rom führen...

Der Begriff Dreisatz kommt daher, dass zur Lösung der Aufgabe dreu Sätze verwendet werden:

Was weiß ich?                           

>> 3 Ellen Stoff kosten 9 Gulden

Wieviel ist eine Einheit davon?

>>  1 Elle Stoff kostet 3 Gulden  (9 : 3 = 3)

Wie viel möchte ich davon haben?  

>>  4 Ellen Stoff kosten entsprechend 12 Gulden (3 • 4 = 12)

Direkte Proportionalität bedeutet, wenn ein Wert vervielfacht wird, wird auch der andere Wert um den gleichen Faktor vervielfacht. (1 Elle Stoff kostet 3 Gulden. Der erste Wert wird vervierfacht, also 4 Ellen Stoff, also wird auch der zweite Wert vervierfacht: 12 Gulden)

Das heißt, wenn der Wert x größer wird, wird auch der Wert y größer.

Bei der indirekten Proportionalität ist es genau umgekehrt, wenn ein Wert (x) größer wird, wird der andere Wert (y) kleiner.

Hier ein Beispiel zu indirekter Proportionalität:

Um das Becken im Freibad mit Wasser zu füllen, brauchen 5 Pumpen 10 Stunden.

Wie lange braucht der Bademeister, wenn er statt der 5 Pumpen 7 Pumpen zur Verfügung hat?

Lösung: Um herauszufinden, wie lange eine Pumpe braucht, muss man zunächst die Stunden mit der Anzahl der Pumpen multipizieren, um die gesamte Füllungszeit auszurechnen (10  • 5 = 50). Nun hat der Bademeister 7 funktionierende Pumpen, also braucht er zum Befüllen weniger Zeit, da er die gesamte Füllungszei von 50 Stunden ja auf 7 und nicht mehr nur auf 5 Pumpen aufteilen kann (50 : 7 = 7,1). Somit braucht er mit den 7 Pumpen nur noch 7,1 Stunden anstatt der 10 Stunden zum Befüllen des Beckens.

Er hat also mehr Pumpen (x ist größer geworden) und braucht dadurch weniger Zeit (y ist kleiner geworden) - die beiden Faktoren sind also indirekt proportional zueinander!

Oder noch viel einfacher formuliert: je mehr Pumpen - desto schneller voll!

Es werden in der Schule auch manchmal gemeine Aufgaben gestellt, bei denen es sich gar nicht um proportionale Funktionen handelt. Man muss immer überlegen, ob die durchgeführte Rechnung auch wirklich sinnhaft ist.

Hier ein Beispiel: Ein Läufer braucht 5 Stunden für den Marathonlauf. Wie lange brauchen 4 Läufer?