Kostenlose Arbeitsblätter und Übungen als PDF zum Thema Laplace-Experimente für Mathe in der 8. Klasse am Gymnasium - mit Lösungen!

Experiment, deren Ergebnis zufällig passieren, also nicht vorhersagbar sind, nennt man Zufallsexperimente. Beispiele hierfür sind das Werfen eines Würfels oder einer Münze. Alle möglichen Ergebnisse eines solchen Zufallsexperimentes fasst man in der Ergebnismenge Ω zusammen.

Erkennungsmerkmale eines Zufallsexperimentes sind:

1. Es wird genau ein Ergebnis von mehreren möglichen Ergebnissen eintreten.
2. Es lässt sich nicht vorhersagen, welches davon eintreten wird.
    

Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments lassen sich durch ein Baumdiagramm übersichtlich darstellen.

Werden verschiedene Ergebnisse eines Experiments zusammengefasst, so erhält man ein Ereignis E. Alle Ergebnisse, die zum Ereignis E gehören, nennt man dann günstige Ergebnisse. Zum Beispiel kann man beim Werfen eines Würfels das Ereignis E „nur gerade Zahlen“ betrachten: E = {2, 4, 6}. Die Ergebnisse 2, 4 und 6 sind dann für das Ereignis E günstige Ergebnisse.

Sollen zwei Ereignisse E1 und E2 gleichzeitig eintreten, so schreibt man E1 ∩ E2 („E1 geschnitten mit E2“).
Sollen Ereignis E1 oder E2 oder beide eintreten, so schreibt man E1 ∪ E2 („E1 vereinigt mit E2“).

Dies kann man sehr anschaulich bildlich mit einem Mengendiagramm darstellen:

• Ein Ereignis, für das alle Ergebnisse günstig sind, heißt sicheres Ereignis.
• Ein Ereignis, welches nicht eintreten kann, heißt unmögliches Ereignis.
• Alle für ein Ereignis E ungünstigen Ergebnisse bilden das Gegenereignis E von E.

Man unterscheidet dabei die absolute von der relativen Häufigkeit von Ergebnissen. Die absolute Häufigkeit bezeichnet die Anzahl, wie oft ein Ergebnis eintritt. Die relative Häufigkeit beschreibt, wie oft ein Ergebnis im Verhältnis zur Gesamtzahl der Durchführungen des Experimentes auftritt. Sie wird oft in Prozent oder als Dezimalbruch angegeben:

Am Beispiel des 10-maligen Werfens eines Würfels lässt sich dies verdeutlichen:

Absolute Häufigkeit: Wie oft werfe ich dabei eine 6?
Relative Häufigkeit: Wie oft werfe ich im Verhältnis zu 10 Würfen eine 6

Zu Erfassung des Zufallsexperimentes kann eine Strichliste verwendet werden. Diese sieht für das obige Experiment zum Beispiel so aus:

Bei Zufallsexperimenten kann man das genaue Ergebnis zwar nicht vorhersagen, aber man kann eine Wahrscheinlichkeit angeben, wie hoch die Chance ist, dass ein Ereignis eintritt.

Zum Beispiel erwartet man beim Werfen eines fairen Würfels, dass in ungefähr 1/6 aller Würfe die Augenzahl vier auftritt.

• Die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die oft in Prozent angegeben wird
• Eine Wahrscheinlichkeit von 0% bedeutet, dass ein Ergebnis nicht eintreten kann
• Eine Wahrscheinlichkeit von 100% bedeutet, dass ein Ergebnis sicher eintritt

Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, stabilisieren sich für jedes Ergebnis die relativen Häufigkeiten auf einen bestimmten Wert. Man erwartet, dass dieser Wert nahe bei der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses liegt.

Baumdiagramme helfen, Situationen übersichtlich darzustellen.

Das Zählprinzip besagt:

Die Gesamtzahl der verschiedenen Möglichkeiten entspricht dem Produkt der Anzahlen der verschiedenen Möglichkeiten in den einzelnen Stufen beim Baumdiagramm.

Beispiel:
Auf einer Speisekarte gibt es 2 Vorspeisen, 3 Hauptspeisen und 3 Nachspeisen zur Auswahl. Wie viele verschiedene dreigängige Menüs lassen sich somit zusammenstellen?

Es gibt insgesamt 2·3·3 = 18 verschiedene Möglichkeiten!

Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, nennt man Laplace-Experimente.
Sind bei einem Laplace-Experiment n verschiedene Ergebnisse möglich, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis1n.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E kann bei Laplace-Experimenten wie folgt berechnet werden: