Gebrochen rationale Funktionen

Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben zu den gebrochen rationalen Funktionen für Mathe in der 8. Klasse am Gymnasium - zum einfachen Herunterladen und Ausdrucken als PDF - mit Lösungen.

Funktionen, deren Funktionsterm ein Bruchterm ist, nennt man gebrochen rationale Funktionen.

Bruchterme sind Terme, bei denen eine Variable im Nenner auftritt – zum Beispiel: 1 / x, 3 / x+2, 2+z / z².

In Bruchterme darf man nur solche Zahlen einsetzen, für die der Nenner nicht 0 wird, da man sonst durch 0 dividieren würde.

Bei gebrochen rationalen Funktionen gehören alle Zahlen, für die der Nenner 0 wird, nicht zur Definitionsmenge DfD_fDf​ der Funktion.
Man nennt diese Zahlen auch Definitionslücken.

Wie sehen gebrochen rationale Funktionen aus?
Typischerweise haben ihre Graphen besondere Merkmale wie Polstellen (an den Definitionslücken), Asymptoten oder Sprungverhalten. Ein einfaches Beispiel ist:

f(x)=1 / x​

Dieser Graph hat eine Definitionslücke bei x = 0, eine Senkrechte Asymptote bei x = 0 und eine Waagrechte Asymptote bei y = 0.

Gebrochen rationale Funktionen besitzen sogenannte Asymptoten. Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion beliebig genau annähert, ohne sie zu schneiden (bei waagrechten) oder zu berühren (bei senkrechten).

Man unterscheidet dabei:

• Waagrechte Asymptoten:
  Sie beschreiben das Verhalten der Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte (also im Unendlichen).
• Senkrechte Asymptoten:
  Sie treten an den Definitionslücken der Funktion auf, also dort, wo der Nenner 0 wird.

Beispiel: f(x)=3 / x+2

• Definitionslücke bei x=−2x = -2x=−2 → senkrechte Asymptote bei x=−2x = -2x=−2
• Für x→∞x \to \inftyx→∞ oder x→−∞x \to -\inftyx→−∞ nähert sich der Graph der waagrechten Asymptote bei y=0y = 0y=0 an
• Der Graph liegt im ersten und dritten Quadranten (ähnlich wie bei f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​, aber verschoben)

Merke:
Im Gegensatz zur senkrechten Asymptote, die vom Graphen für keinen y-Wert geschnitten werden darf, kann die waagrechte Asymptote durchaus vom Graphen der Funktion berührt oder geschnitten werden.

Die waagrechte Asymptote beschreibt lediglich das Verhalten der Funktion für sehr große und sehr kleine x-Werte.

Für die Gleichungen der senkrechten Asymptoten berechnet man die Nullstellen des Nenners. Diese entsprechen genau den Definitionslücken – also den senkrechten Asymptoten.

Für die waagrechte Asymptote kann man:

• sehr große oder sehr kleine Werte für x einsetzen
  oder
• den Funktionsterm direkt betrachten:

Regeln zur Bestimmung waagrechter Asymptoten:

• Ist der Grad des Nenners größer als der des Zählers → die x-Achse (also y = 0) ist die waagrechte Asymptote.
• Ist der Grad von Zähler und Nenner gleich, so ist der Quotient der Leitkoeffizienten die waagrechte Asymptote.

Beispiele: