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Mathe, 8. Klasse

Gebrochen rationale Funktionen

Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben zu den gebrochen rationalen Funktionen für Mathe in der 8. Klasse am Gymnasium - mit Lösungen!

Was ist eine gebrochen rationale Funktion?

Funktionen, deren Funktionsterm ein Bruchterm ist, nennt man gebrochen rationale Funktionen.

Bruchterme sind Terme, bei denen eine Variable im Nenner auftritt, wie zum Beispiel 1/x, 3/x+2, 2+z/.

In Bruchterme darf man nur solche Zahlen einsetzen, für die der Nenner nicht 0 wird, da man sonst durch 0 dividieren würde.

Bei gebrochen rationalen Funktionen gehören alle Zahlen, für die der Nenner 0 wird, nicht zur Definitionsmenge Df der Funktion. Man nennt diese Zahlen auch Definitionslücken.

Wie sehen gebrochen rationale Funktionen aus?

Gebrochen rationale Funktionen besitzen Asymptoten. Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph beliebig genau annähert. Man unterscheidet dabei waagrechte und senkrechte Asymptoten. Die waagrechten Asymptoten beschreiben das Verhalten der Funktion für sehr große und sehr kleine x-Werte. Die senkrechten Asymptoten stellen die Definitionslücken dar.

Beispiel: f(x)=3/x+2

Merke:

Im Gegensatz zur senkrechten Asymptote, die für keinen y-Wert vom Graphen geschnitten werden darf, kann die waagrechte Asymptote durchaus vom Graphen der Funktion berührt oder geschnitten werden. Die waagrechte Asymptote beschreibt lediglich das Verhalten der Funktion für sehr große und sehr kleine x-Werte.

Wie findet man die Gleichungen der Asymptoten heraus?

Für die Gleichungen der senkrechten Asymptoten berechnet man die Nullstellen des Nenners. Diese entsprechen genau den Definitionslücken also den senkrechten Asymptoten.
Für die waagrechte Asymptote kann man sehr große Werte für x einsetzen, oder man betrachtet den Funktionsterm:

  • Ist der Nennergrad größer als der Zählergrad, so ist immer die x-Achse (y = 0) waagrechte Asymptote.
  • Ist der Nennergrad gleich dem Zählergrad, so ist der Quotient der beiden Leitkoeffizienten die waagrechte Asymptote.
     

Beispiele:

Funktionsterm
Senkrechte Asymptote
Waagrechte Asymptote
f(x)=2/(3x+1)
3x+1 = 0  3x = -1  x = -1/3 ist die senkrechte Asymptote
Nennergrad = 1, Zählergrad = 0, x-Achse ist waagrechte Asymptote
f(x)=(3x+1)/(2x-2)
2x-2 = 0  2x = 2  x = 1 ist die senkrechte Asymptote
Nennergrad = 1 = Zählergrad, x=3/2 ist die waagrechte Asymptote
f(x)=(-2x+2)/(x-4)
x-4 = 0  x = 4 ist die senkrechte Asymptote
Nennergrad = 1 = Zählergrad, x=(-2)/1 ist die waagrechte Asymptote

Lernziele:

  • Gebrochen rationale Funktionen und ihre Eigenschaften kennen
  • Unterschied zwischen senkrechter und waagrechter Asymptote erläutern
  • Graphen gebrochen rationaler Funktionen skizzieren
  • Definitionslücken angeben

Aufgaben:

  • Definitionsmenge angeben
  • Gleichungen der Asymptoten angeben
  • Graphen zeichnen

Kostenlose Arbeitsblätter zu den gebrochen rationalen Funktionen

Gebrochen rationale Funktionen 1

Gebrochen rationale Funktionen 2

Gebrochen rationale Funktionen 3

Gebrochen rationale Funktionen 4