Gebrochen rationale Funktionen

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Funktionen, deren Funktionsterm ein Bruchterm ist, nennt man gebrochen rationale Funktionen.

Bruchterme sind Terme, bei denen eine Variable im Nenner auftritt, wie zum Beispiel 1/x, 3/x+2, 2+z/z².

In Bruchterme darf man nur solche Zahlen einsetzen, für die der Nenner nicht 0 wird, da man sonst durch 0 dividieren würde.

Bei gebrochen rationalen Funktionen gehören alle Zahlen, für die der Nenner 0 wird, nicht zur Definitionsmenge Df der Funktion. Man nennt diese Zahlen auch Definitionslücken.

Gebrochen rationale Funktionen besitzen Asymptoten. Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph beliebig genau annähert. Man unterscheidet dabei waagrechte und senkrechte Asymptoten. Die waagrechten Asymptoten beschreiben das Verhalten der Funktion für sehr große und sehr kleine x-Werte. Die senkrechten Asymptoten stellen die Definitionslücken dar.

Beispiel: f(x)=3/x+2

Merke:

Im Gegensatz zur senkrechten Asymptote, die für keinen y-Wert vom Graphen geschnitten werden darf, kann die waagrechte Asymptote durchaus vom Graphen der Funktion berührt oder geschnitten werden. Die waagrechte Asymptote beschreibt lediglich das Verhalten der Funktion für sehr große und sehr kleine x-Werte.

Für die Gleichungen der senkrechten Asymptoten berechnet man die Nullstellen des Nenners. Diese entsprechen genau den Definitionslücken also den senkrechten Asymptoten.
Für die waagrechte Asymptote kann man sehr große Werte für x einsetzen, oder man betrachtet den Funktionsterm:

• Ist der Nennergrad größer als der Zählergrad, so ist immer die x-Achse (y = 0) waagrechte Asymptote.
• Ist der Nennergrad gleich dem Zählergrad, so ist der Quotient der beiden Leitkoeffizienten die waagrechte Asymptote.
   

Beispiele: