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Mathe, 7. Klasse

Besondere Linien im Dreieck

Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben zu den besonderen Linien im Dreieck für Mathe in der 7. Klasse am Gymnasium und der Realschule - zum einfachen Herunterladen und Ausdrucken als PDF

Was ist eine Mittelsenkrechte?

In jedem Dreieck ABC gibt es drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc, welche jeweils Seite a, b und im rechten Winkel treffen und halbieren. Das bedeutet, dass zum Beispiel jeder Punkt auf der Mittelsenkrechte mc von Punkt A und Punkt B denselben Abstand hat.

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Wie hängen Mittelsenkrechten und Umkreis zusammen?

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt U, welche von A, B und C gleichen Abstand hat. Zeichnet man einen Kreis um U mit Radius UA=UB=UC, so erhält man den Umkreis des Dreiecks ABC, welcher durch die Punkte A, B und C verläuft. Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt U, welche von A, B und C gleichen Abstand hat. Zeichnet man einen Kreis um U mit Radius UA=UB=UC, so erhält man den Umkreis des Dreiecks ABC, welcher durch die Punkte A, B und C verläuft.

Satz von den Mittelsenkrechten im Dreieck:

In jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der drei Dreiecksseiten in einem Punkt U. Dieser Punkt U hat von den drei Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand, er ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks.

Welche Spezialfälle gibt es für den Umkreismittelpunkt?

Man kann die folgenden drei Spezialfälle unterscheiden:

Wie kann man den Umkreis für die Konstruktion von Dreiecken nutzen?

Da alle Ecken des Dreiecks auf dem Umkreis liegen, und wir die oben genannten Spezialfälle kennen, liefert der Umkreis eine weitere Information für die Konstruktion von Dreiecken.

Beispiel:

Konstruiere ein Dreieck ABC mit c = 2,4cm, β = 30° und Umkreisradius r = 2cm

Konstruktion:

Wähle U beliebig und zeichne den Umkreis k(U;r)

Wähle Punkt A beliebig auf k(U;r)

B liegt

Auf dem Umkreis k(U;r)

Auf dem Kreis um A k(A;c)

C liegt

Auf dem Umkreis k(U;r)

Auf dem freien Schenkel des in B an [AB] angetragenen Winkels β

Was ist eine Winkelhalbierende?

Eine Winkelhalbierende liegt genau zwischen zwei sich schneidenden Schenkeln und halbiert somit den Winkel zwischen ihnen.

Satz von den Winkelhalbierenden:

Ein Punkt P liegt genau dann auf einer Winkelhalbierenden zweier sich schneidender Geraden, wenn er von beiden Geraden gleichen Abstand hat.

Wie hängen Winkelhalbierende und Inkreis zusammen?

In jedem Dreieck ABC gibt es drei Winkelhalbierende der Innenwinkel: wα, wβ und wγ

Jeder Punkt der Winkelhalbierenden wα hat von [AB] und [AC] den gleichen Abstand ρ. Dasselbe gilt für die beiden anderen Winkelhalbierenden.

Zeichnet man einen Kreis mit Radius ρ um den Schnittpunkt I der Winkelhalbierenden, so erhält man den Inkreis des Dreiecks. Dieser berührt alle Dreiecksseiten von innen.

 

Wie kann man die Winkelhalbierenden für die Konstruktion von Dreiecken nutzen?

Beispiel: Konstruiere ein Dreieck ABC mit c = 4cm, wα= 2,5cm und α = 70°

Konstruktion:

  1. A und B sind durch c gegeben
  2. D (Schnittpunkt von wα und [BC]) liegt
    1. Auf dem freien Schenkel des Winkels α/2 in A an [AB] angetragen
    2. Auf dem Kreis k(A; wα)
  3. C liegt
    1. Auf BD
    2. Auf dem freien Schenkel des Winkels α in A an [AB] angetragen

Was ist das besondere an den Höhen in Dreiecken?

In jedem Dreieck ABC gibt es drei Höhen. Diese erhält man, indem man von einer Ecke aus das Lot auf die gegenüberliegende Seite fällt. Die Verbindungsstrecke ist dann die Höhe.

Satz von den Höhen im Dreieck:

Bei jedem Dreieck schneiden sich die Höhen (oder deren Verlängerungen) in einem Punkt.

Wie kann man die Winkelhalbierenden für die Konstruktion von Dreiecken nutzen?

Beispiel:

Konstruiere das Dreieck ABC mit c = 3cm, α = 25° und hc = 2,5cm

Konstruktion:

A und B sind durch c gegeben

C liegt

Auf der Parallelen zu AB im Abstand hc

Auf dem freien Schenkel des Winkels α in A an [AB] angetragen

Was ist eine Seitenhalbierende?

In jedem Dreieck ABC gibt es drei Seitenhalbierende sa, sb und sc . Jede ist jeweils die Verbindungsstrecke der Seitenmitte mit der gegenüberliegenden Ecke.

Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, welcher immer innerhalb des Dreiecks liegt. Diesen Punkt nennt man auch Schwerpunkt des Dreiecks.

Wie kann man die Seitenhalbierenden für die Konstruktion von Dreiecken nutzen?

Beispiel: Konstruiere das Dreieck ABC mit a = 2,4cm, b = 2cm und sa = 2,6cm

Konstruktion:

A und C sind durch b gegeben

Ma liegt

Auf dem Kreis k(C; a/2)

Auf dem Kreis k(A; sa)

B liegt

Auf CMa

Auf dem Kreis k(C; a)

 

 

Lernziele:

  • Begriffe Mittelsenkrechte, Umkreis, Winkelhalbierende, Inkreis, Höhe und Seitenhalbierende kennen und unterscheiden
  • Satz von den Mittelsenkrechten im Dreieck kennen
  • Satz von den Winkelhalbierenden im Dreieck kennen
  • Satz von den Höhen im Dreieck kennen
  • Konstruktion von Dreiecken mit Umkreis durchführen
  • Konstruktion von Dreiecken mit Winkelhalbierenden durchführen
  • Konstruktion von Dreiecken mit Höhen durchführen
  • Konstruktion von Dreiecken mit Seitenhalbierenden durchführen

Aufgaben:

  • Konstruktion von Dreiecken und deren Umkreisen
  • Konstruktion von Dreiecken und deren Inkreisen
  • Konstruktion von Dreiecken und deren Höhen
  • Konstruktion von Dreiecken und deren Seitenhalbierenden
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