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Mathe, 7. Klasse
Besondere Linien im Dreieck
Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben zu den besonderen Linien im Dreieck für Mathe in der 7. Klasse am Gymnasium und der Realschule - zum einfachen Herunterladen und Ausdrucken als PDF
Was ist eine Mittelsenkrechte?
In jedem Dreieck ABC gibt es drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc, welche jeweils Seite a, b und im rechten Winkel treffen und halbieren. Das bedeutet, dass zum Beispiel jeder Punkt auf der Mittelsenkrechte mc von Punkt A und Punkt B denselben Abstand hat.
Wie hängen Mittelsenkrechten und Umkreis zusammen?
Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt U, welche von A, B und C gleichen Abstand hat. Zeichnet man einen Kreis um U mit Radius UA=UB=UC, so erhält man den Umkreis des Dreiecks ABC, welcher durch die Punkte A, B und C verläuft. Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt U, welche von A, B und C gleichen Abstand hat. Zeichnet man einen Kreis um U mit Radius UA=UB=UC, so erhält man den Umkreis des Dreiecks ABC, welcher durch die Punkte A, B und C verläuft.
Satz von den Mittelsenkrechten im Dreieck:
In jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der drei Dreiecksseiten in einem Punkt U. Dieser Punkt U hat von den drei Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand, er ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks.
Welche Spezialfälle gibt es für den Umkreismittelpunkt?
Man kann die folgenden drei Spezialfälle unterscheiden:
Wie kann man den Umkreis für die Konstruktion von Dreiecken nutzen?
Da alle Ecken des Dreiecks auf dem Umkreis liegen, und wir die oben genannten Spezialfälle kennen, liefert der Umkreis eine weitere Information für die Konstruktion von Dreiecken.
Beispiel:
Konstruiere ein Dreieck ABC mit c = 2,4cm, β = 30° und Umkreisradius r = 2cm
Konstruktion:
Wähle U beliebig und zeichne den Umkreis k(U;r)
Wähle Punkt A beliebig auf k(U;r)
B liegt
Auf dem Umkreis k(U;r)
Auf dem Kreis um A k(A;c)
C liegt
Auf dem Umkreis k(U;r)
Auf dem freien Schenkel des in B an [AB] angetragenen Winkels β
Was ist eine Winkelhalbierende?
Eine Winkelhalbierende liegt genau zwischen zwei sich schneidenden Schenkeln und halbiert somit den Winkel zwischen ihnen.
Satz von den Winkelhalbierenden:
Ein Punkt P liegt genau dann auf einer Winkelhalbierenden zweier sich schneidender Geraden, wenn er von beiden Geraden gleichen Abstand hat.
Wie hängen Winkelhalbierende und Inkreis zusammen?
In jedem Dreieck ABC gibt es drei Winkelhalbierende der Innenwinkel: wα, wβ und wγ
Jeder Punkt der Winkelhalbierenden wα hat von [AB] und [AC] den gleichen Abstand ρ. Dasselbe gilt für die beiden anderen Winkelhalbierenden.
Zeichnet man einen Kreis mit Radius ρ um den Schnittpunkt I der Winkelhalbierenden, so erhält man den Inkreis des Dreiecks. Dieser berührt alle Dreiecksseiten von innen.
Wie kann man die Winkelhalbierenden für die Konstruktion von Dreiecken nutzen?
Beispiel: Konstruiere ein Dreieck ABC mit c = 4cm, wα= 2,5cm und α = 70°
Konstruktion:
- A und B sind durch c gegeben
- D (Schnittpunkt von wα und [BC]) liegt
- Auf dem freien Schenkel des Winkels α/2 in A an [AB] angetragen
- Auf dem Kreis k(A; wα)
- C liegt
- Auf BD
- Auf dem freien Schenkel des Winkels α in A an [AB] angetragen
Was ist das besondere an den Höhen in Dreiecken?
In jedem Dreieck ABC gibt es drei Höhen. Diese erhält man, indem man von einer Ecke aus das Lot auf die gegenüberliegende Seite fällt. Die Verbindungsstrecke ist dann die Höhe.
Satz von den Höhen im Dreieck:
Bei jedem Dreieck schneiden sich die Höhen (oder deren Verlängerungen) in einem Punkt.
Wie kann man die Winkelhalbierenden für die Konstruktion von Dreiecken nutzen?
Beispiel:
Konstruiere das Dreieck ABC mit c = 3cm, α = 25° und hc = 2,5cm
Konstruktion:
A und B sind durch c gegeben
C liegt
Auf der Parallelen zu AB im Abstand hc
Auf dem freien Schenkel des Winkels α in A an [AB] angetragen
Was ist eine Seitenhalbierende?
In jedem Dreieck ABC gibt es drei Seitenhalbierende sa, sb und sc . Jede ist jeweils die Verbindungsstrecke der Seitenmitte mit der gegenüberliegenden Ecke.
Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, welcher immer innerhalb des Dreiecks liegt. Diesen Punkt nennt man auch Schwerpunkt des Dreiecks.
Wie kann man die Seitenhalbierenden für die Konstruktion von Dreiecken nutzen?
Beispiel: Konstruiere das Dreieck ABC mit a = 2,4cm, b = 2cm und sa = 2,6cm
Konstruktion:
A und C sind durch b gegeben
Ma liegt
Auf dem Kreis k(C; a/2)
Auf dem Kreis k(A; sa)
B liegt
Auf CMa
Auf dem Kreis k(C; a)
Lernziele:
- Begriffe Mittelsenkrechte, Umkreis, Winkelhalbierende, Inkreis, Höhe und Seitenhalbierende kennen und unterscheiden
- Satz von den Mittelsenkrechten im Dreieck kennen
- Satz von den Winkelhalbierenden im Dreieck kennen
- Satz von den Höhen im Dreieck kennen
- Konstruktion von Dreiecken mit Umkreis durchführen
- Konstruktion von Dreiecken mit Winkelhalbierenden durchführen
- Konstruktion von Dreiecken mit Höhen durchführen
- Konstruktion von Dreiecken mit Seitenhalbierenden durchführen
Aufgaben:
- Konstruktion von Dreiecken und deren Umkreisen
- Konstruktion von Dreiecken und deren Inkreisen
- Konstruktion von Dreiecken und deren Höhen
- Konstruktion von Dreiecken und deren Seitenhalbierenden
Unser Königspaket
Alle Arbeitsblätter vom Übungskönig zum Thema "Besondere Linien im Dreieck" für Mathe in der 7. Klasse als PDF
Arbeitsblätter zu den besonderen Linien im Dreieck
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Häufige Fragen zu besonderen Linien im Dreieck – Mathe 7. Klasse
Welche besonderen Linien im Dreieck werden in der 7. Klasse behandelt?
In der 7. Klasse Mathe lernt ihr vier besondere Linien im Dreieck kennen: die Mittelsenkrechte, die Winkelhalbierende, die Höhe und die Seitenhalbierende. Jede dieser Linien hat besondere Eigenschaften und einen zugehörigen Schnittpunkt – zum Beispiel den Umkreismittelpunkt (Mittelsenkrechten) oder den Schwerpunkt (Seitenhalbierende).
Was ist der Unterschied zwischen Umkreis und Inkreis eines Dreiecks?
Der Umkreis verläuft durch alle drei Ecken des Dreiecks und sein Mittelpunkt ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Der Inkreis liegt dagegen im Inneren des Dreiecks und berührt alle drei Seiten von innen – sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.
Wie kann man den Umkreis oder Inkreis für die Konstruktion von Dreiecken nutzen?
Da alle Ecken eines Dreiecks auf dem Umkreis liegen, lässt sich der Umkreis gezielt als Konstruktionshilfe einsetzen – zum Beispiel wenn Umkreisradius, eine Seitenlänge und ein Winkel gegeben sind. Ähnliches gilt für den Inkreis: Die Winkelhalbierende kann als bekannte Länge in die Konstruktion einfließen, wie das Beispiel mit wα = 2,5 cm auf dieser Seite zeigt.
Sind die Arbeitsblätter zu besonderen Linien im Dreieck kostenlos?
Das erste Arbeitsblatt inklusive Lösung ist kostenlos verfügbar. Die restlichen neun Übungsblätter sind exklusiv im Königspaket enthalten, das alle Materialien zum Thema als PDF-Download für 1,99 € bündelt.
Für welche Schularten sind diese Mathe-Übungsblätter zur 7. Klasse geeignet?
Die Arbeitsblätter zu den besonderen Linien im Dreieck richten sich an Schülerinnen und Schüler der 7. Klasse an Gymnasium und Realschule. Die Materialien eignen sich sowohl für den Unterricht als auch zum selbstständigen Üben und zur Prüfungsvorbereitung zu Hause.