Besondere Linien im Dreieck

Kostenlose Arbeitsblätter und Übungen zu den besonderen Linien im Dreieck für Mathe in der 7. Klasse am Gymnasium und der Realschule - zum einfachen Herunterladen und Ausdrucken als PDF

In jedem Dreieck ABC gibt es drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc, welche jeweils Seite a, b und im rechten Winkel treffen und halbieren. Das bedeutet, dass zum Beispiel jeder Punkt auf der Mittelsenkrechte mc von Punkt A und Punkt B denselben Abstand hat.

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt U, welche von A, B und C gleichen Abstand hat. Zeichnet man einen Kreis um U mit Radius UA=UB=UC, so erhält man den Umkreis des Dreiecks ABC, welcher durch die Punkte A, B und C verläuft. Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt U, welche von A, B und C gleichen Abstand hat. Zeichnet man einen Kreis um U mit Radius UA=UB=UC, so erhält man den Umkreis des Dreiecks ABC, welcher durch die Punkte A, B und C verläuft.

In jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der drei Dreiecksseiten in einem Punkt U. Dieser Punkt U hat von den drei Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand, er ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks.

Man kann die folgenden drei Spezialfälle unterscheiden:

Da alle Ecken des Dreiecks auf dem Umkreis liegen, und wir die oben genannten Spezialfälle kennen, liefert der Umkreis eine weitere Information für die Konstruktion von Dreiecken.

Eine Winkelhalbierende liegt genau zwischen zwei sich schneidenden Schenkeln und halbiert somit den Winkel zwischen ihnen.

Ein Punkt P liegt genau dann auf einer Winkelhalbierenden zweier sich schneidender Geraden, wenn er von beiden Geraden gleichen Abstand hat.

In jedem Dreieck ABC gibt es drei Winkelhalbierende der Innenwinkel: wα, wβ und wγ

Jeder Punkt der Winkelhalbierenden wα hat von [AB] und [AC] den gleichen Abstand ρ. Dasselbe gilt für die beiden anderen Winkelhalbierenden.

Zeichnet man einen Kreis mit Radius ρ um den Schnittpunkt I der Winkelhalbierenden, so erhält man den Inkreis des Dreiecks. Dieser berührt alle Dreiecksseiten von innen.

In jedem Dreieck ABC gibt es drei Höhen. Diese erhält man, indem man von einer Ecke aus das Lot auf die gegenüberliegende Seite fällt. Die Verbindungsstrecke ist dann die Höhe.

Bei jedem Dreieck schneiden sich die Höhen (oder deren Verlängerungen) in einem Punkt.

In jedem Dreieck ABC gibt es drei Seitenhalbierende sa, sb und sc . Jede ist jeweils die Verbindungsstrecke der Seitenmitte mit der gegenüberliegenden Ecke.

Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, welcher immer innerhalb des Dreiecks liegt. Diesen Punkt nennt man auch Schwerpunkt des Dreiecks.