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Mathe, 8. Klasse
Lineare Ungleichungen
Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben zum Thema Lineare Ungleichungen für Mathe in der 8. Klasse am Gymnasium - mit Lösungen!
Was ist eine Ungleichung?
Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, die mit einem Ungleichheitszeichen verknüpft sind. Beispiele hierfür sind:
2 < x; 2y > 1; z ≤ 0; x-2 ≥ 50
Jede Zahl, die beim Einsetzen in die Ungleichung eine wahre Aussage liefert, nennt man Lösung der Ungleichung. Alle Lösungen einer Ungleichung können in der Lösungsmenge L zusammengefasst werden.
Wie löst man eine Ungleichung?
Eine Möglichkeit ist das gezielte Probieren und systematische Einsetzen verschiedener Zahlen. Kompliziertere Ungleichungen kann man ebenso wie Gleichungen mit Äquivalenzumformungen vereinfachen. Dabei ändert sich die Lösungsmenge der Ungleichung nicht.
Eine weitere Möglichkeit ist das graphische Lösen von Ungleichungen.
Beispiel: Um herauszufinden, welche Funktionswerte der Funktion f: x → 0,5x -2 kleiner als 3 sind, zeichnet man den Graphen von f und eine Parallele zur x-Achse durch den Punkt (0|3). Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist dann genau die Lösung der Gleichung 0,5x-2 = 3. Die gesuchten Werte müssen also kleiner als diese Lösung sein.
Hier liegt der Schnittpunkt bei x=10, also ist die Lösung der Ungleichung x < 10, was man als Lösungsmenge L = {x | x < 10} darstellen kann.
Auch kompliziertere Ungleichungen kann man graphisch lösen, indem man beide Funktionen der durch das Ungleichheitszeichnen getrennten Terme zeichnet.
Was sind Äquivalenzumformungen?
Zu den Äquivalenzumformungen, welche die Lösungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen nicht verändern zählen:
- Addieren und Subtrahieren desselben Terms/derselben Zahl auf beiden Seiten
- Multiplikation beider Seiten mit derselben positiven Zahl
- Division beider Seiten durch dieselbe positive Zahl
- Multiplikation beider Seiten mit derselben negativen Zahl und ändern des Ungleichheitszeichens
- Division beider Seiten durch dieselbe negative Zahl und ändern des Ungleichheitszeichens
Ihr findet bei uns auch Übungen direkt zu den Äquivalenzumformungen.
Wie stellt man eine Lösungsmenge dar?
Man kann Lösungsmengen entweder als Intervalle oder Mengen darstellen.
Für die Menge aller rationalen Zahlen, die größer als 5 sind, schreibt man entweder ]5; +∞[ als Intervall, oder {x | x > 5} als Menge.
Beispiele für einige Intervalle:
- {x | a ≤ x ≤ b } = [a; b]
- {x | a ≤ x < b } = [a; b[
- {x | a < x ≤ b } = ]a; b]
- {x | a < x < b } = ]a; b[
- {x | x ≤ b } = [-∞; b]
- {x | x < b } = [-∞; b[
- {x | a ≤ x } = [a; ∞[
- {x | a < x } = ]a; ∞[
Lernziele:
- Methoden zum Lösen von Ungleichungen kennen und anwenden
- Verschiedene Darstellungsarten für Lösungsmengen kennen
- Komplizierte Ungleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lösen
Aufgaben:
- Rechnerisches Lösen von Ungleichungen
- Graphisches Lösen von Ungleichungen
- Aufstellen von Ungleichungen aus Texten