Mathe, Geometrie in der 5. Klasse

kgV und ggT

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Was sind das kgV und der ggT?

Das kgV ist das kleinste gemeinse Vielfache von zwei Zahlen - also die kleinste Zahl, die sowohl von der einen als auch der anderen Zahl ein Vielfaches ist.

Beispiel: Das kgV von 4 und 5 ist 20.

Der ggT ist der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen, also die größte Zahl durch die sich beide Zahlen teilen lassen.

Beispiel: Der ggT von 12 und 32 ist 4.

Wie findet man alle Teiler einer bestimmten Zahl?

Hierzu gibt es einige hilfreiche Merkregeln:

Jede Zahl ist immer durch 1 und durch sich selbst teilbar.
Handelt es sich um eine gerade Zahl, so ist auch die Zahl 2 ein Teiler.
Ist die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar, so ist die Zahl selbst auch durch 3 teilbar.
Bei einer Zahl, die größer als 100 ist, reicht es, wenn die Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern gebildet wird durch 4 teilbar ist.
Endet die Zahl auf 0 oder 5, so ist sie durch 5 teilbar.
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.
Bei einer Zahl, die größer als 1000 ist, reicht es, wenn die Zahl, die aus den letzten drei Ziffern gebildet wird durch 8 teilbar ist
Ist die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar, so ist die Zahl selbst auch durch 9 teilbar..
Endet die Zahl auf 0, so ist sie durch 10 teilbar.

Man kann die Teiler auch durch eine Primfaktorenzerlegung bestimmen

Bestimme zunächst die Primfaktoren.
Bilde nun Produkte aus den gefundenen Faktoren, diese sind dann ebenfalls Teiler der Zahl.
Vergiss nicht die besonderen Teiler 1 und die Zahl selbst.

Wie berechnet man die Vielfachen einer Zahl?

Beginne mit dem ersten Vielfachen, welches immer die Zahl selbst ist (Multiplikation mit 1)
Fahre fort mit den Produkten der Zahl mit 2, 3, 4,…

Beispiel:

Vielfache der Zahl 3:
1 ·3 = 3 2 · 3 = 6 3 · 3 = 9 4 · 3 = 12 5 · 3 = 15 …

Wie berechnet man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier Zahlen?

Variante 1: Bestimmen der Teilermenge beider Zahlen

Bestimme zunächst die jeweiligen Teilermengen der beiden Zahlen
Die größte und bei beiden Teilermengen vorkommende Zahl ist dann der ggT der beiden Zahlen

Beispiel:
Wir suchen den ggT von 12 und 32
Teilermenge von 12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Teilermenge von 32 = {1; 2; 4; 8; 16; 32}
Die größte Zahl, die in beiden Mengen vorkommt, ist die 4, also ist der ggT von 12 und 32 die Zahl 4.

Achtung: Es muss nicht immer einen größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen geben. Wenn die Zahlen teilerfremd sind, dann haben sie nur die Zahl 1 als Teiler gemeinsam.

Variante 2: Mit der Primfaktorzerlegung

Bestimmte jeweils die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen und schreibe diese als Potenzen
Bilde nun das Produkt der Potenzen, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen, und den kleinsten Exponenten haben. Das Ergebnis ist dann der ggT der beiden Zahlen

Beispiel:
Wir suchen den ggT von 12 und 32
Primfaktorzerlegung von 12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3
Primfaktorzerlegung von 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25
In beiden Zerlegungen kommt der Primfaktor 2 vor und seine niedrigste Potenz ist 2². Also ist der ggT von 12 und 32 die Zahl 2² = 4.

Wie bestimmt man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen?

Variante 1: Bestimmen der Vielfachheiten beider Zahlen

Bestimme zunächst einige Vielfache beider Zahlen und schreibe diese auf
Die kleinste Zahl, die in beiden Mengen auftaucht, ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahl

Variante 2: Mit der Primfaktorzerlegung

Bestimmte jeweils die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen und schreibe diese als Potenzen
Bilde nun das Produkt der Potenzen mit den jeweils höchsten Exponenten. Das Ergebnis ist dann das kgV der beiden Zahlen

Beispiel:
Wir suchen das kgV von 20 und 24
Primfaktorzerlegung von 20 = 2 · 2 · 5 = 2² · 5
Primfaktorzerlegung von 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2³ · 3
Die höchsten Potenzen sind 2³, 3 und 5 à kgV(20; 24) = 2³ · 3 · 5 = 120