kgV und ggT

Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben zum kgV und ggT für Mathe in der 5. Klasse am Gymnasium und der Realschule - zum einfachen Download und Ausdrucken als PDF

Das kgV ist das kleinste gemeinse Vielfache von zwei Zahlen - also die kleinste Zahl, die sowohl von der einen als auch der anderen Zahl ein Vielfaches ist.

Beispiel: Das kgV von 4 und 5 ist 20.

Der ggT ist der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen, also die größte Zahl durch die sich beide Zahlen teilen lassen.

Beispiel: Der ggT von 12 und 32 ist 4.

Hierzu gibt es einige hilfreiche Merkregeln:

• Jede Zahl ist immer durch 1 und durch sich selbst teilbar
• Handelt es sich um eine gerade Zahl, so ist auch die Zahl 2 ein Teiler
• Ist die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar, so ist die Zahl selbst auch durch 3 teilbar
• Bei einer Zahl, die größer als 100 ist, reicht es, wenn die Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist
• Endet die Zahl auf 0 oder 5, so ist sie durch 5 teilbar
• Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist
• Bei einer Zahl, die größer als 1000 ist, reicht es, wenn die Zahl, die aus den letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist
• Ist die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar, so ist die Zahl selbst auch durch 9 teilbar
• Endet die Zahl auf 0, so ist sie durch 10 teilbar

Man kann die Teiler auch durch eine Primfaktorenzerlegung bestimmen:

• Bestimme zunächst die Primfaktoren
• Bilde nun Produkte aus den gefundenen Faktoren; diese sind dann ebenfalls Teiler der Zahl
• Vergiss nicht den besonderen Teiler 1 und die Zahl selbst

• Beginne mit dem ersten Vielfachen, welches immer die Zahl selbst ist (Multiplikation mit 1)
• Fahre fort mit den Produkten der Zahl mit 2, 3, 4,…
   

Beispiel:
Vielfache der Zahl 3
1 ·3 = 3     2 · 3 = 6     3 · 3 = 9     4 · 3 = 12     5 · 3 = 15 …
= V₃ = {3; 6; 9; 12; 15; …}

• Bestimme zunächst die jeweiligen Teilermengen der beiden Zahlen
• Die größte und bei beiden Teilermengen vorkommende Zahl ist dann der ggT der beiden Zahlen
   

Beispiel:
Wir suchen den ggT von 12 und 32
Teilermenge von 12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Teilermenge von 32 = {1; 2; 4; 8; 16; 32}
Die größte Zahl, die in beiden Mengen vorkommt, ist die 4, also ist der ggT von 12 und 32 die Zahl 4 = ggT (12; 32) = 4.

Achtung: Es muss nicht immer einen größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen geben. Wenn die Zahlen teilerfremd sind, dann haben sie nur die Zahl 1 als Teiler gemeinsam.

• Bestimmte jeweils die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen und schreibe diese als Potenzen
• Bilde nun das Produkt der Potenzen, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen, und den kleinsten Exponenten haben. Das Ergebnis ist dann der ggT der beiden Zahlen
   

Beispiel:
Wir suchen den ggT von 12 und 32
Primfaktorzerlegung von 12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3
Primfaktorzerlegung von 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25
In beiden Zerlegungen kommt der Primfaktor 2 vor und seine niedrigste Potenz ist 2². Also ist der ggT von 12 und 32 die Zahl 2² = 4 = ggT (12; 32) = 2² = 4.

• Bestimme zunächst einige Vielfache beider Zahlen und schreibe diese auf
• Die kleinste Zahl, die in beiden Mengen auftaucht, ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahl

Beispiel: Wir suchen das kgV von 20 und 24
Vielfachen von 20: V₂₀ = {20; 40; 60; 80; 100; 120; 140; 160; … }
Vielfachen von 24: V₂₄ = {24; 48; 72; 96; 120; 144; … }
Die kleinste Zahl, die in beiden Mengen auftaucht, ist 120; also ist das kgV von 20 und 24 die Zahl 120 = kgV (20; 24) = 120.

• Bestimme jeweils die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen und schreibe diese als Potenzen
• Bilde nun das Produkt der Potenzen mit den jeweils höchsten Exponenten. Das Ergebnis ist dann das kgV der beiden Zahlen
   

Beispiel:
Wir suchen das kgV von 20 und 24
Primfaktorzerlegung von 20 = 2 · 2 · 5 = 2² · 5
Primfaktorzerlegung von 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2³ · 3
Die höchsten Potenzen sind 2³, 3 und 5. Also ist das kgV von 12 und 32 die Zahl 2³ · 3 · 5 = 120 = kgV (20; 24) = 2³ · 3 · 5 = 120.