Funktionen

Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben zum Thema Funktionen für Mathe in der 8. Klasse am Gymnasium - zum einfachen Herunterladen und Ausdrucken als PDF - mit Lösungen.

Nach ersten Erfahrungen mit funktionalen Zusammenhängen durch den Umgang mit Diagrammen, relativen Häufigkeiten und Termen werden diese in der 8. Klasse nun vertieft, und die Schülerinnen und Schüler lernen die lineare Funktion als einen grundlegenden Funktionstyp kennen. Auch lineare Ungleichungen sind ein Thema.

Der Funktionsbegriff ist als Thema in den Bildungsstandards fest verankert und stellt somit ein essentielles Thema im Bereich Mathematik dar. Funktionen dienen dazu, Zusammenhänge und Zuordnungen darzustellen.

Definition Funktion:

Definition aus einem Schulbuch des Gymnasiums:
Gegeben sind zwei nichtleere Mengen A und B. Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem x aus der Menge A genau ein y aus der Menge B zuordnet.

Definition aus der Mathematik (nach Mangoldt/Knopp, 1965, S. 337):
„Wenn jedem Wert einer Veränderlichen x, der zu dem Wertebereich dieser Veränderlichen gehört, durch eine eindeutige Vorschrift je ein bestimmter Zahlenwert y zugeordnet ist, so sagt man, y sei eine Funktion der Veränderlichen x, oder kürzer: y sei eine Funktion von x.“

Definitionsmenge / Wertemenge:

• Die Definitionsmenge D beinhaltet alle Zahlen, deren Einsetzung sinnvoll bzw. "erlaubt" ist.
• Die Wertemenge W ist die Menge aller Zahlen, die sich als Funktionswerte einer Funktion f ergeben.

• Proportionale Funktionen stellen den Einstieg in das funktionale Denken dar. Zunächst wird der Begriff proportionale Zuordnung verwendet, um die Vorstellung der Zuordnung von Elementen einer Menge zur anderen zu unterstützen. Proportionale Funktionen werden durch Halbgeraden durch den Ursprung im ersten Quadranten des Koordinatensystems dargestellt.
   

• Lineare Funktionen erweitern die proportionalen Funktionen durch den Einsatz negativer Zahlen für x und y. Bei linearen Funktionen können die Graphen:

  • Geraden durch den Ursprung sein oder
  • parallel zu einer Ursprungsgeraden verlaufen (durch Verschiebung auf der y-Achse).

  
  Mit einer Wertetabelle können die Schülerinnen und Schüler herausfinden, ob die Gerade steigt oder fällt:

  • bei a > 0: Die Gerade steigt
  • bei a = 0: Die Gerade verläuft horizontal
  • bei a < 0: Die Gerade fällt

  Im Gegensatz zu linearen Funktionen gibt es auch stückweise konstante Funktionen, sogenannte Treppenfunktionen (z. B. Porto bei Briefen, Parkgebühren).
   

• Quadratische Funktionen
  Eine quadratische Funktion hat die Form: f(x) = ax² + bx + c
  Diese Form nennt man die Summenform einer Parabel. Wenn a = 1, spricht man von der Normalparabel.

  • Aus dem Wert von a erkennt man, ob die Parabel eng oder weit ist.
  • Aus dem Vorzeichen von a erkennt man, ob sie nach oben oder nach unten geöffnet ist:

  • Wert von a	Form der Parabel
    a > 1	Stauchung, nach oben geöffnet
    0 < a < 1	Streckung, nach oben geöffnet
    -1 < a < 0	Streckung, nach unten geöffnet
    a < -1	Stauchung, nach unten geöffnet

  Durch quadratische Ergänzung lässt sich die Summenform in die Scheitelform überführen. Das ist eine Äquivalenzumformung, bei der man eine binomische Formel erzeugt.
  
  Die Scheitelform lautet z. B.: f(x) = 2(x + 5)² - 3

  • a = 2 → Die Parabel ist nach oben geöffnet, schmaler als die Normalparabel.
  • c = –3 → Die Parabel ist um 3 Einheiten nach unten verschoben.
  • (x + 5) → Verschiebung um 5 Einheiten nach links (Achtung: Vorzeichenumkehr!)
     
• Potenzfunktionen sind Funktionen der Form: f(x)=axⁿ 
  Dabei steht die Variable x in der Basis. Sie werden in der Regel in der Oberstufe im Bereich Analysis behandelt.
   
• Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen x im Exponenten steht, z. B.: f(x)=a^x 
  Sie beschreiben typischerweise Wachstums- oder Zerfallsprozesse, z. B. bei der Bakterienvermehrung, Algenwachstum oder der Zinseszinsrechnung.
   
• Trigonometrische Funktionen wie sin, cos und tan werden zunächst im Zusammenhang mit dem rechtwinkligen Dreieck eingeführt.
  • Sinus und Cosinus verlaufen wellenförmig entlang der x-Achse und sind zueinander versetzt.
  • Die Tangensfunktion verläuft ebenfalls entlang der x-Achse, wird aber regelmäßig unterbrochen, sodass sich ein charakteristisches Muster aus gekrümmten Linien ergibt.