Funktionen

Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben als PDF zu den Funktionen für Mathe in der 8. Klasse am Gymnasium - mit Lösungen!

Nach ersten Erfahrungen mit funktionalen Zusammenhängen durch den Umgang mit Diagrammen, relativen Häufigkeiten und Termen, werden diese in der 8. Klasse nun vertieft und die Kinder lernen lineare Funktionem als einem grundlegenden Funktionstyp kennen. Auch lineare Ungleichungen sind ein Thema.

Der Funktionsbegriff ist als Thema in den Bildungsstandards fest verankert und stellt somit ein essentielles Thema im Bereich Mathematik dar. Funktionen dienen dazu, Zusammenhänge und Zuordnungen darzustellen.

Definition Funktion:

Definition aus einem Schulbuch des Gymnasiums:

Gegeben sind zwei nichtleere Mengen A, B. Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem x aus der Menge A genau ein y aus der Menge B zuordnet.

Hier noch eine Funktion aus der Mathematik (nach Mangoldt/Knopp, 1965, S. 337):

"Wenn jedem Wert einer Veränderlichen x, der zu dem Wertebereich dieser Veränderlichen gehört, durch eine eindeutige Vorschrift je ein bestimmter Zahlenwert y zugeordnet ist, so sagt man, y sei eine Funktion der Veränderlichen x oder kürzer, y sei eine Funktion von x."

Definitionsmenge/Wertemenge:

Die Definitionsmenge beinhaltet alle Zahlen, deren Einsetzung sinnvoll bzw. "erlaubt" ist.

Die Menge aller Zahlen, die sich als Funktionswerte einer Funktion f ergeben, bezeichnet man als Wertemenge W der Funktion.

• Proportionale Funktionen stellen den Einstieg in das funktionale Denken dar. Zunächst wird der Begriff proportionale Zuordnung verwendet um die Vorstellung der Zuordnung von Elementen einer Menge zur anderen zu unterstützen. Proportionale Funktionen werden durch Halbgerade durch den Ursprung im ersten Quadranten des Koordinatensystems dargestellt.
• Lineare Funktionen erweitern die Funktionen durch den Einsatz negativer Zahlen für x und y. Bei den Linearen Funktionen können die Grafen Geraden durch den Ursprung gehen oder durch Verschiebung auf der y-Achse parallel zu einer Geraden durch den Ursprung verlaufen. Mit der Wertetabelle können die Schüler herausfinden, ob die Gerade steigt oder fällt. Bei a > 0 steigt sie, bei a = 0 verläuft die Gerade auf der x-Achse bzw. parallel zur x-Achse und bei a < 0 fällt die Gerade. Im Gegensatz zu den Linearen Funktionen gibt es auch noch Funktionen, die stückweise konstant sind. Sie werden als Treppenfunktionen bezeichnet. (Beispiel: Porto bei Briefen, Parkgebühren)
• Quadratische Funktionen: Eine Quadratische Funktion hat die Form f(x) = ax² + bx + c, diese wird als Summenform einer Parabel bezeichnet. Wenn die Variable a=1 ist, nennt man diese Quadratische Form Normalparabel. Aus der Summenform kann man aus dem Wert der Variable a ablesen, ob die Parabel weit oder schmal ist. Aus dem Vorzeichen von a kann man ablesen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist.  Bei a > 1 Stauchung nach oben geöffnet (eng), 0 < a < 1 Streckung nach oben geöffnet (weit), -1 < a < 0 Streckung nach unten geöffnet (weit), a < -1 Stauchung nach unten geöffnet. Durch Quadratische Ergänzung kann man die Summenform in eine Scheitelform ergänzen. Die Quadratische Ergänzung ist eine Äquivalenzumformung, mit der man eine Binomische Formel erzeugen kann. Durch die Umformung in eine Scheitelform kann man weitere Informationen zur Darstellung der Parabel entnehmen. Hier ein Beispiel einer Scheitelform: f(x) = 2 (x+5)² -3 Die Variable a ist in dieser Darstellung die 2, aus dieser kann man herauslesen, dass die Parabel nach oben geht und breiter als die Normalparabel geöffnet ist. Bei der Parabel kann man aus der Variablen c=-3 herauslesen, ob die Parabel nach oben oder nach unten in Richtung der y-Achse verschoben wird (c > 0 nach oben / c < 0 nach unten) In diessem Beispiel ist die Parabel um 3 nach unten verschoben. Um die Parabel nach links oder rechts zu verschieben, muss die Variable x verändert werden, wobei hier + und - von der Vorstellung her vertauscht werden (Bei x+5 , wie im Beispiel, wird die Parabel um 5 nach links verschoben, bei x-5 entsprechend nach rechts).
• Potenzfunktionen sind Funktionen, bei denen die Variable x in der Basis steht (Beispiel: f(x)=axⁿ ) Im Gymnasium werden Potenzfunktionen im Rahmen der Analysis in der Oberstufe behandelt.
• Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen x im Exponenten steht (Beispiel: f(x)=a^x) Exponentialfunktionen werden häufig in Wachstumsdarstellungen gebraucht, zum Beispiel bei Bakterien- oder Algenvermehrung oder auch bei der Berechnung von Zinseszinsen.
• Trigonometrische Funktionen: sin, cos und tan werden in der Schule zunächst für die Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck verwendet. Trigonometrische Funktionen bewegen sich an der x-Achse entlang, die Sinus- und Cosinusfunktionen beschreiben eine wellenförmige Bewegung, wobei sie versetzt voneinander laufen. Die Tangensfunktion bewegt sich ebenfalls an der x-Achse, wird aber immer wieder unterbrochen, so dass sich ein Muster aus gebogenen Linien ergibt.