Gleichungen lösen: Äquivalenzumformung

5 Kostenlose Arbeitsblätter und Lösungen für Mathe am Gymnasium (7. Klasse) zum Thema: Gleichungen lösen: Äquivalenzumformung

Um Gleichungen lösen zu können, muss zunächst der Umgang mit Termen sicher beherrscht werden, sonst können die Gleichungen nicht vereinfacht bzw. umgeformt werden. Erst dann können die Gleichungen gelöst werden. Wichtig beim Umgang mit Gleichungen, ist, dass die Schüler verstehen, dass bei einer Gleichung gegeben ist, dass die linke und rechte Seite einer Gleichung immer den gleichen Wert haben, auch wenn sie unterschiedlich aussehen. Beim Lösen von Gleichungen ist es wichtig, wenn ein Term verändert wird, muss der gegengleiche Term ebenso verändert werden.

Probieren: Eine einfache Möglichkeit eine Gleichung zu lösen ist, einfach irgendwelche Zahlen in die Variablen einzusetzen, um zu sehen, ob die Gleichung aufgeht. Diese Methode ist aber nur bei sehr einfachen Gleichungen möglich und ist eher unzuverlässig.

Tabelle: Die Tabelle ist eine strukturierte Variante der Probier-methode. Hier wird systematisch in die Gleichung eingesetzt. Diese Methode ist bei einfachen Gleichungen sinnvoll, wird jedoch langwierig, wenn x eine hohe Zahl ist bzw. wenn x keine ganze Zahl ist. Hier im Beispiel die Gleichung 3x+2=11

Gegenaufgabe: Gegenaufgaben werden bereits in der Grundschule angewandt um Ergebnisse zu überprüfen. Hierfür wird das Ergebnis genommen und die Rechenoperation umgekehrt. Dies kann auch mit weiteren Rechenschritten weitergeführt werden.

3x + 2 = 11

Gegenaufgabe: 11 - 2 = 3x

Gegenaufgabe: (11 - 2):3 = x

Waagemodell: Das Waagemodell wird in der Einführung gerne als Veranschaulichung von Gleichungen eingesetzt, da hier deutlich wird, dass Rechenoperationen auf beiden Seiten gleich angewendet werden müssen. Das Waagemodell stößt allerdings schnell an seine Grenzen, wenn die Gleichungen komplizierter werden oder Brüche bzw. negative Zahlen in der Gleichung vorkommen.

Äquivalenzumformungen: Diese Umformungen verfolgen strukturierte Rechenabfolgen. Die Gleichung wird somit Stück für Stück zerpflückt und aufgelöst, bis auf einer Seite nur noch x steht. Diese Lösungsmethode ist schnell und effizient, ist aber für Schüler oft schwer verständlich.

Rückwärtsrechnen: Rückwärtsrechnen wird oft in Zahlenrätseln gebraucht. Bei den Zahlenrätseln wird vom Ergebnis ausgehend immer ein Schritt zurückgerechnet, also es wird wie bei der Gegenaufgabe die Rechenoperation umgekehrt.

3x + 2 = 11     Das dreifache der gesuchten Zahl ist um zwei geringer als elf.

Balkendiagramm: Das Balkendiagramm ist eine anschauliche Darstellung der beiden Terme. Hier werden zwei Balken untereinander gezeichnet. Der erste Balken wird in elf Bereiche unterteilt. Der zweite Balken wird von einer Seite her mit zwei Unterteilungen markiert, die je genau so groß sind, wie ein Teil des ersten Balkens. Der Rest wird in 3 gleich große Bereiche unterteilt, da der Rest 3x entspricht. Nun kann man ein x vergleichen mit der entsprechenden Breite des ersten Balkens. Hier kann man ablesen, wie groß ein x ist.

Der erste Balken zeigt 11 Kästchen, das ist in unserer Gleichung das Ergebnis. Da der andere Term genausogroß ist, muss der Balken ebenso lang sein. Die Zahl zwei ist beim zweiten Balken bereits bekannt, der Rest wird in drei gleich große Teile aufgeteilt, die mit x markiert werden. Dann kann man ganz einfach sehen, dass ein x immer über 3 normale Kästchen geht. Ebenso wie beim Waagemodell ist diese Vorstellung nur für einfache Gleichungen geeignet, die keine negativen Zahlen enthalten. Bei einfachen Brüchen (1/2 oder 1/3 oder 1/4) ist dieses Modell noch möglich, werden die Brüche noch kleiner, so wird das Modell eher unübersichtlich, dafür sind andere Lösungsstrategien notwendig.

Rechenbaum: Ein Rechenbaum  zeigt die einzelnen Schritte beim Lösen einer Gleichung. Es wird dann immer mit dem Zwischenergebnis die nächste Rechenoperation dargestellt. Zum Berechnen des Rechenbaums muss wieder rückwärts gerechnet werden. (11-2= 9 ; 9 : 3 = 3) 

Äquivalenz bedeutet gleich, das heißt bei der Äquivalenzumformung werden beide Terme mit der gleichen Rechenoperation umgeformt und somit bleiben die Terme wieder wertgleich.

In unserem Beispiel wird zunächst die Zahl 2 subtrahiert und anschließend durch 3 dividiert. Die Rechenoperation wird immer nach einem senkrechten Strich hinter die Rechnung geschrieben, damit nachvollziehbar ist, was gerade gemacht wurde.  Um zu verdeutlichen, dass die Rechnung auf beiden Seiten durchgeführt wird, ist hier der Zwischenschritt mit angegeben.

3x + 2 = 11            I -2

3x + 2 - 2= 11 - 2

3x = 9                    l : 3

3x : 3 = 9 : 3

x = 3

Durch diese Technik können auch Bruchgleichungen ganz einfach gelöst werden, da die Nenner einfach auf beiden Seiten multipliziert werden. Somit kürzt sich der Nenner bei dem ursprünglichen Term weg und der andere Term wird mit dem Nenner multipliziert. Dadurch wird die Gleichung zunächst länger, kann aber nun wie gewohnt vereinfacht und berechnet werden.