Mathe, 7. Klasse

Symmetrie

Kostenlose Arbeitsblätter, Aufgaben und Übungen als PDF zur Symmetrie für Mathe in der 7. Klasse am Gymnasium - mit Lösungen

Wann ist etwas symmetrisch?

Man unterscheidet verschiedene Arten von Symmetrie: Achsensymmetrie und Punktsymmetrie
Kann man etwas entlang einer Geraden a falten, sodass die beiden Hälften zur Deckung kommen, nennt man die Figur achsensymmetrisch zur Symmetrieachse a. Zu jeder Figur lässt sich durch Spiegelung an einer Achse a ihr Spiegelbild erzeugen. Die Gesamtfigur ist dann achsensymmetrisch.
Kann man etwas um einen Punkt Z drehen, sodass die Figur dann zur Deckung kommt, nennt man die Figur punktsymmetrisch bezüglich des Punktes Z (=Symmetriezentrum).

Wichtig für die Achsensymmetrie:

Sind die Punkte A und A‘ symmetrisch bezüglich der Achse a, dann steht die Verbindungsstrecke [AA‘] senkrecht auf a und wird von dieser halbiert. Punkte, die auf der Achse liegen, stimmen mit ihren Spiegelpunkten überein.

Welche Eigenschaften haben achsensymmetrische Figuren?

Bei Strecken gilt: zueinander achsensymmetrische Strecken sind gleich lang
Bei Winkeln gilt: zueinander achsensymmetrische Winkel sind gleich groß
Beim Umlaufsinn gilt: bei zueinander achsensymmetrischen Figuren ändert sich der Umlaufsinn
Bei Geraden gilt: zueinander achsensymmetrische Geraden sind parallel oder sie schneiden sich auf der Achse

Beispiel:
Spiegle das Rechteck ABCD an der Spiegelachse a.
Man spiegelt mit Hilfe des Geodreiecks die Eckepunkte A, B, C und D verbindet die entstandenen Spiegelpunkte A‘, B‘, C‘ und D‘.

Wichtig für die Punktsymmetrie:

Die Verbindungsstrecke zweier zueinander punktsymmetrischer Punkte wird vom Symmetriezentrum Z halbiert.

Welche Eigenschaften haben punktsymmetrische Figuren?

Bei Strecken gilt: zueinander punktsymmetrische Strecken sind gleich lang und parallel
Bei Winkeln gilt: zueinander punktsymmetrische Winkel sind gleich groß
Beim Umlaufsinn gilt: bei zueinander punktsymmetrischen Figuren ändert sich der Umlaufsinn nicht
Bei Geraden gilt: zueinander punktsymmetrische Geraden sind parallel

Beispiel 1:

Konstruiere das Symmetriezentrum Z der Figur.
Verbindet man zueinander symmetrische Punkte, so gibt der Schnittpunkt das Symmetriezentrum Z an.

Beispiel 2:

Konstruiere die Spiegelfigur bezüglich des Zentrums Z.
Um den Spiegelpunkt A‘ zu erhalten, zeichnet man die Halbgerade [AZ und den Kreis k(Z; AZ). Dieser Kreis schneidet [AZ im Punkt A‘.

Wie konstruiert man Spiegelpunkte?

Möchte man einen Punkt P an der Spiegelachse a spiegeln, so wählt man zunächst einen beliebigen Punkt A auf der Achse a und zeichnet einen Kreis mit Radius r=AP um A. Zeichnet man erneut einen Kreis um einen beliebigen Punkt B auf der Achse a mit Radius r=BP, so ergibt der Schnittpunkt dieser beiden Kreise den gesuchten Spiegelpunkt P‘.

Wir bemerken, dass jeder Punkt auf der Achse a von P und P‘ gleich weit entfernt ist und alle Punkte, die von P und P‘ gleich weit entfernt sind, liegen auf a.

Wie konstruiert man aus symmetrischen Punkten die Symmetrieachse?

Zeichne um die beiden symmetrischen Punkte A und B zwei Kreise, sodass sich die Kreislinien schneiden. Verbinde die beiden Schnittpunkte, um die Symmetrieachse a zu erhalten.

Schreibweise für den Kreis mit Radius r um Punkt A: k(A; r)

Wie konstruiert man Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Lot?

Um die Mittelsenkrechte einer Strecke [AB] zu konstruieren, muss man nur die Symmetrieachse zu den Punkten A und B konstruieren.

Für die Winkelhalbierende wα des Winkels α zeichnet man einen Kreis um den Scheitel S. Dieser schneidet die beiden Schenkel in zwei Punkten A und B. Konstruiert man zu den Punkten A und B die Symmetrieachse, erhält man die Winkelhalbierende wα.

Man erhält das Lot l zu einer Geraden g durch einen Punkt P, indem man zu zwei von Punkt P gleich weit entfernten Punkten A und B auf der Geraden die Symmetrieachse konstruiert. Zeichne dazu einen Kreis um Punkt P, welcher g dann in zwei Punkten A und B schneidet. Konstruiere dann zu A und B die Symmetrieachse.

Die Länge der Lotstrecke von P zu g wird auch als Abstand des Punktes P von der Geraden g bezeichnet: d(P; g)

Lernziele:

Unterschied zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie und deren Eigenschaften kennen
Konstruktion von Spiegelbildern, Spiegelachsen, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden und Loten

Aufgaben:

Konstruktion von Spiegelbildern, Spiegelachsen, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden und Loten mit Zirkel und Lineal
Spiegelbilder und symmetrische Figuren mit Geodreieck zeichnen
Symmetrische Figuren analysieren
Art der Symmetrie erkennen