Symmetrie

Wichtig für die Punktsymmetrie:

Die Verbindungsstrecke zweier zueinander punktsymmetrischer Punkte wird vom Symmetriezentrum Z halbiert.

• Bei Strecken gilt: zueinander punktsymmetrische Strecken sind gleich lang und parallel
• Bei Winkeln gilt: zueinander punktsymmetrische Winkel sind gleich groß
• Beim Umlaufsinn gilt: bei zueinander punktsymmetrischen Figuren ändert sich der Umlaufsinn nicht
• Bei Geraden gilt: zueinander punktsymmetrische Geraden sind parallel

Möchte man einen Punkt P an der Spiegelachse a spiegeln, so wählt man zunächst einen beliebigen Punkt A auf der Achse a und zeichnet einen Kreis mit Radius r=AP um A. Zeichnet man erneut einen Kreis um einen beliebigen Punkt B auf der Achse a mit Radius r=BP, so ergibt der Schnittpunkt dieser beiden Kreise den gesuchten Spiegelpunkt P‘.

Wir bemerken, dass jeder Punkt auf der Achse a von P und P‘ gleich weit entfernt ist und alle Punkte, die von P und P‘ gleich weit entfernt sind, liegen auf a.

Zeichne um die beiden symmetrischen Punkte A und B zwei Kreise, sodass sich die Kreislinien schneiden. Verbinde die beiden Schnittpunkte, um die Symmetrieachse a zu erhalten.

Schreibweise für den Kreis mit Radius r um Punkt A: k(A; r)

Um die Mittelsenkrechte einer Strecke [AB] zu konstruieren, muss man nur die Symmetrieachse zu den Punkten A und B konstruieren.

Für die Winkelhalbierende wα des Winkels α zeichnet man einen Kreis um den Scheitel S. Dieser schneidet die beiden Schenkel in zwei Punkten A und B. Konstruiert man zu den Punkten A und B die Symmetrieachse, erhält man die Winkelhalbierende wα.

Man erhält das Lot l zu einer Geraden g durch einen Punkt P, indem man zu zwei von Punkt P gleich weit entfernten Punkten A und B auf der Geraden die Symmetrieachse konstruiert. Zeichne dazu einen Kreis um Punkt P, welcher g dann in zwei Punkten A und B schneidet. Konstruiere dann zu A und B die Symmetrieachse.

Die Länge der Lotstrecke von P zu g wird auch als Abstand des Punktes P von der Geraden g bezeichnet: d(P; g)